Filtro FIR de cuarto orden

Mi misión de emergencia es crear un Filtro Digital FIR de orden 8 ó 4.

Este tipo de filtros tambien se conocen como "moving average filter" y se debe a que la salida y[n] para cualquier n es producto de los valores de x[n]. La idea principal se basa en que aquellos valores que cambian demasiado rápido (altas frecuencias) se mezclaran con los valores anteriores de muestras resultando en un filtro de paso bajo para señales o en un filtro suavizador en imágenes.

Este ejemplo filtro propuesto es un filtro causal, ya que su comportamiento depende únicamente de muestras pasadas y actuales (Por eso k comienza en cero). Este es un requerimiento escencial para utilizar el filtro en procesamiento en tiempo real.

Sin embargo este tipo de filtros son sistemas con fase lineal, el efecto neto es un retraso proporcional a la frecuencia de la señal. El rango de frecuencias de interés del sistema se dará alrededor de 1 Hz, para la mayoría de los filtros de ventana, el retraso de fase a tales frecuencias es de arriba de 90 grados /Hz. Si el intervalo de muestreo es de 60Hz, el retraso neto de una señal de 1 Hz será de 1.5s y los requerimientos del sistema no admiten este comportamiento.

He probado dos herramientas para calcular el filtro FIR deseado. Los coeficientes se calcularon con ayuda de matlab (FDATOOL y SPTOOL), así mismo resulta sencillo diseñar mediante ScopeFIR. Sin embargo el problema que tengo ahora es implementar el filtro.

El método más sencillo es la forma directa (Según la documentaciín de MATLAB).

             N
y[n] =__1__ sum {Bk* x[n-k] }
       N+1  k=0

Donde N es el número de coeficientes o puntos del filtro digital. He visto algo muy obvio, estos coeficientes son en realidad la respuesta al impulso del filtro digital. Bajo esta idea, dspguide nos dice:

Convolution is a mathematical way of combining two signals to form a third signal. It is the single most important technique in Digital Signal Processing. Using the strategy of impulse decomposition, systems are described by a signal called the impulse response. Convolution is important because it relates the three signals of interest: the input signal, the output signal, andthe impulse response.
.....
In other words, if we know a system's impulse response, then we can calculate what the output will be for any possible input signal. This means we know everything about the system.

La convolución es una operación matemática formal, tal como si lo fuera la multiplicación, la suma o la división: cualquiera de ellos toma dos números y producen un tercero, mientras que la la convolución toma dos señales y produce una tercera. Esto se representa en notación matemática de la siguiente forma:

x[n] * h[n] = y[n]


Debido a que la respuesta al impulso del Filtro FIR es finita, siempre será posible obtener un valor acotado para cualquier coeficiente de Bk que sea acotado. De esto que los filtro FIR de este tipo serán estables.





Referencias

1.- Signals & Systems, (second edition)
Alan V. Oppenheim
Alan S. Willsky
with S. Hamid nawab
Prentice Hall Signal Processing Series
ISBN: 0-13-81-4757-4

2.- dspguide