1.- Introducción al Filtro Kalman
Rudolph Emil Kalman nació en la ciudad de Budapest, Hungría el 19 de Mayo de 1930. Su artículo [RES1] tuvo un gran impacto en áreas como seguimiento de objetos con radar, sistemas de navegación dirección e incluso en Economía.
Aunque el filtro lleva su apellido, se dice que Peter Swerling desarrolló un algoritmo similar previamente. Fué Stanley Schmidt a quien se le atribuye la primera implementación del Filtro. Posteriormente, una visita a la NASA le muestra a Kalman el alcance de sus ideas mediante la estimación de trayectorias en el Programa Apollo. Como resultado de esto el filtro Kalman tuvo su desarrollo en los artículos de Swerling (1958), Kalman (1960) y Kalman y Buci (1961).
Estas fueron las bases para muchos otros algoritmos derivados como lo son el Filtro extendido de Schmidt, filtro de información y una gran variedad de filtros de raices cuadradas desarrollados por Bierman. Quizás la aplicación del filtro Kalman más común sea los Lazos amarrados en fase o PLL (Phase Locked Loop), de gran utilidad en sistemas de transmisión.
El filtro Kalman es un filtro recursivo (IIR), cuya misión es estimar el estado de un sistema dinámico con base en mediciones incompletas afectadas por el ruido. El ejemplo más comun se basa en proveer contínuamente y con cierto grado de exactitud información acerca de la velocidad y posición de un objeto a partir de una serie de muestras inexactas acerca de su posición.
Por ejemplo, en los sistemas de radar [RES2] uno se interesa por saber de manera muy acertada, la posición, velocidad y aceleración de un objeto. Cualquier error en el conocimiento de estas variables puede conducir a una colisión en caso de la aviación civil o en la no intercepción de un blanco en el caso Militar.
El filtro Kalman se relaciona mucho con conceptos estadísticos, de ruido y teoría de sistemas. En este espacio desarrollaremos las herramientas adecuadas para una correcta concepción del Filtro.
2.- La estadistica
La estadistica es una rama de las matematicas la cual se encarga de describir fenomenos de los cuales su certeza no es absoluta.
La estadistica clasica opera del modo siguiente[RES3]:
- Se plantea un problema de estudio (rastreo de objetos, navegacion).
- Se realiza el muestreo correspondiente de las variables del fenomeno que deseamos estudiar.
- Se propone un modelo de probabilidad . Los parametros de este modelo se estiman a partir de los datos recolectados del muestreo.
- Se valida el modelo comparando los resultados con lo que sucede en realidad.
- Se utiliza un modelo validado para tomar o corregir desiciones y realizar predicciones (KALMAN).
Los fenomenos que estudia la estadistica muchas veces son referidos como procesos estocasticos. La palabra estocastico proviene del griego stoxastiko%*s, que significa "perteneciente o lo relativo al azar". Un sistema o modelo estocastico es aquel que funciona, sobre todo, por el azar. Las leyes de causa-efecto no explican su manera de actuar como determinista, si no en funcion de probabilidades.
Ahora, una variable aleatoria [RES1] es una funcion de cuyos valores dependen del resultado de un evento azaroso. Los valores de una variable aleatoria pueden ser de cualquier tipo, ya sea entero, racional,reales o complejos o incluso vectores.
2.1 Teoria de la probabilidad
La teoria de la probabilidad es intrincada pero util para describir sucesos aleatorios (estocasticos).
Definicion Clasica
La probabilidad p de aparicion de un suceso S de un total de n casos posibles igualmente factibles es la relacion entre el numero de ocurrencias h de dicho suceso y el numero total de casos posibles n.
- p = P{S} = h / n
La probabilidad es un numero entre 0 y 1. Cuando el suceso es imposible se dice que su probabilidad es 0 y se dice que es un suceso cierto cuando tiene que ocurrir y su probabilidad es 1. La probabilidad de no ocurrencia de un evento esta dada por q donde:
- q = P{noS} = 1 - (h / n) = 1 - p
Simbolicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por W, es el espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se denota por w1,w2, ..., wn son elementos del espacio W.
,Esto mide con que frecuencia ocurre tal evento si se hace un experimento de maner indefinida.
Operador de valor esperado
El operador de valor esperado (esperanza matemática, promedio estadístico o media), se utilza extensivamente en la literatura relacionada con el filtro KALMAN.
El valor esperado de una variable aleatoria es la suma de todos los posibles valores de esta, cada uno multiplicado por su probabilidad de ocurrencia.
También está definida como la integral de la función de densidad probabilística de una variable aleatoria contínua sobre su propio rango de valores.
La función de densidad probabilística de una variable aleatoria x, se puede definir a partir de la función de distribución probabilística[RES1]:
Pr(x ≤ ξ) = Fx(ξ)
siempre y cuando:
Fx(-∞) =0 y Fx(+∞) =1
[RES1] A new approach to linear Filtering and Prediction Problem
R. E. Kalman
1960
[RES2]
Tracking and Kalman Filtering Made Easy
Eli Brookner
Wiley Interscience Publication, Jhon Wiley & Sons, INC.
ISBN 0-471-18407-1
[RES3]
Estadística
Wikipedia en Español
7 de Septiembre de 2005
http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica
[RES4]
Spiegel, Murray. 1970. Estadistica, McGraw-Hill, Mexico
[RES5]
Expected Value,
Wikipedia en Inglés
8 de Septiembre de 2005
http://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value
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